ECC 椭圆曲线加密算法

椭圆曲线加密算法（Elliptic Curve Cryptography），简称 ECC，是基于椭圆曲线数学理论实现的一种非对称加密算法。

ECC 相比 RSA，ECC 优势是可以使用更短的密钥，来实现与 RSA 相当或更高的安全。据研究，160位 ECC 加密安全性相当于1024位 RSA 加密，210位 ECC 加密安全性相当于2048位 RSA 加密。

椭圆曲线在密码学中的使用，是1985年由 Neal Koblitz 和 Victor Miller 分别独立提出的。

1. 椭圆曲线

一般情况下，椭圆曲线可用下列方程式来表示，其中a,b,c,d为系数。

E:y²=x³+bx²+cx+d

例如，当a=1,b=0,c=-2,d=4时，所得到的椭圆曲线为:

E:y²=x³-2x+4

该椭圆曲线E的图像如图所示，可以看出根本就不是椭圆形。

2. 定义椭圆曲线的运算规则

1) 加法

曲线上的两点A、B画一条直线，找到直线与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A+B，即为加法。

如下图所示：A + B = C。

2) 二倍运算

上述方法无法解释A + A，即两点重合的情况。因此在这种情况下，将椭圆曲线在A点的切线，与椭圆曲线的交点，交点关于x轴对称位置的点，定义为A + A，即2A，即为二倍运算。

3) 正负取反

将A关于x轴对称位置的点定义为-A，即椭圆曲线的正负取反运算。如下图所示：

4) 无穷远点

如果将A与-A相加，过A与-A的直线平行于y轴，可以认为直线与椭圆曲线相交于无穷远点。

综上，定义了A+B、2A运算，因此给定椭圆曲线的某一点G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。

即：当给定G点时，已知x，求xG点并不困难。反之，已知xG点，求x则非常困难。此即为椭圆曲线加密算法背后的数学原理。

3. 有限域上的椭圆曲线运算

椭圆曲线要形成一条光滑的曲线，要求x,y取值均为实数，即实数域上的椭圆曲线。但椭圆曲线加密算法，并非使用实数域，而是使用有限域。按数论定义，有限域GF(p)指给定某个质数p，由0、1、2......p-1共p个元素组成的整数集合中定义的加减乘除运算。

假设椭圆曲线为 y²= x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上时，写作：y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)

此时，椭圆曲线不再是一条光滑曲线，而是一些不连续的点，如下图所示。以点(1,7)为例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此还有如下点：

(0,1) (0,22) (1,7) (1,16) (3,10) (3,13) (4,0) (5,4) (5,19) (6,4) (6,19) (7,11) (7,12) (9,7) (9,16) (11,3) (11,20) 等等。

另外，如果P(x,y)为椭圆曲线上的点，则-P即(x,-y)也为椭圆曲线上的点。如点P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也为椭圆曲线上的点。

计算xG

相关公式如下：有限域GF(p)上的椭圆曲线y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，则R(Xr,Yr) = P+Q 由如下规则确定：

Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）

因此，有限域GF(23)上的椭圆曲线y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假设以(0,1)为G点，计算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：

计算2G：λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12 Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6 Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19 即2G为点(6,19)

计算3G：3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19) λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3 Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3 Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13 即3G为点(3, 13)

同理计算4G、5G...xG，分布如下图：

4. 椭圆曲线加解密算法原理

建立基于椭圆曲线的加密机制，需要找到类似 RSA 质因子分解或其它求离散对数这样的难题。

而椭圆曲线上的已知 G 和 xG 求 x，是非常困难的，此即为椭圆曲线上的离散对数问题。

此处 x 即为私钥，xG 即为公钥。

椭圆曲线加密算法原理如下：

设私钥、公钥分别为 k、K，即 K = kG，其中 G 为 G点。

公钥加密：

选择随机数 r，将消息 M 生成密文 C，该密文是一个点对，即： C = {rG, M+rK}，其中 K 为公钥。

私钥解密：

M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M ，其中 k、K 分别为私钥、公钥。

5. 椭圆曲线签名算法原理

椭圆曲线签名算法，即 ECDSA。 设私钥、公钥分别为 k、K，即 K = kG，其中 G 为 G 点。

私钥签名：

1、选择随机数 r，计算点 rG(x, y)。

2、根据随机数 r、消息 M 的哈希 h、私钥 k，计算 s = (h + kx)/r。

3、将消息M、和签名 {rG, s} 发给接收方。

公钥验证签名：

1、接收方收到消息 M、以及签名 {rG=(x,y), s}。

2、根据消息求哈希 h。

3、使用发送方公钥K计算：hG/s + xK/s，并与 rG 比较，如相等即验签成功。

原理如下：

hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s = r(h+xk)G / (h+kx) = rG

6. 签名过程

假设要签名的消息是一个字符串：“Hello World!”。DSA签名的第一个步骤是对待签名的消息生成一个消息摘要。

不同的签名算法使用不同的消息摘要算法。而 ECDSA256 使用 SHA256 生成 256bit 的摘要。

摘要生成结束后，应用签名算法对摘要进行签名：

• 产生一个随机数k；
• 利用随机数k，计算出两个大数r和s；
• 将 r 和 s 拼在一起构成对消息摘要的签名。

这里需要注意的是，因为随机数 k 的存在，对于同一条消息，使用同一个算法，产生的签名是不一样的。

从函数的角度来理解，签名函数对同样的输入会产生不同的输出。因为函数内部会将随机值混入签名的过程。

7. 验证过程

关于验证过程，这里不讨论它的算法细节。从宏观上看，消息的接收方从签名中分离出 r和s，然后利用公开的密钥信息和 s计算出 r。如果计算出的 r 和接收到的 r 值相同，则表示验证成功。否则，表示验证失败。

8. 签名和验签范例

以下是 Go 语言实现的签名和验签范例代码。

    
package main

import (
	"fmt"
	"crypto/ecdsa"
	"crypto/elliptic"
	"crypto/rand"
	"crypto/sha256"
	"math/big"
)

func main() {
	//明文 
	message := []byte("Hello world")
	
	key, err := NewSigningKey()
	if err != nil {
		return
	}

	signature, err := Sign(message, key)

	fmt.Printf("签名后：%x\n", signature)
	if err != nil {
		return
	}

	if !Verify(message, signature, &key.PublicKey) {
		fmt.Println("验证失败！")
		return
	}else{
		fmt.Println("验证成功！")
	}
}

func NewSigningKey() (*ecdsa.PrivateKey, error) {
	key, err := ecdsa.GenerateKey(elliptic.P256(), rand.Reader)
	return key, err
}

// Sign signs arbitrary data using ECDSA.
func Sign(data []byte, privkey *ecdsa.PrivateKey) ([]byte, error) {
	// hash message
	digest := sha256.Sum256(data)

	// sign the hash
	r, s, err := ecdsa.Sign(rand.Reader, privkey, digest[:])
	if err != nil {
		return nil, err
	}

	// encode the signature {R, S}
	// big.Int.Bytes() will need padding in the case of leading zero bytes
	params := privkey.Curve.Params()
	curveOrderByteSize := params.P.BitLen() / 8
	rBytes, sBytes := r.Bytes(), s.Bytes()
	signature := make([]byte, curveOrderByteSize*2)
	copy(signature[curveOrderByteSize-len(rBytes):], rBytes)
	copy(signature[curveOrderByteSize*2-len(sBytes):], sBytes)

	return signature, nil
}

// Verify checks a raw ECDSA signature.
// Returns true if it's valid and false if not.
func Verify(data, signature []byte, pubkey *ecdsa.PublicKey) bool {
	// hash message
	digest := sha256.Sum256(data)

	curveOrderByteSize := pubkey.Curve.Params().P.BitLen() / 8

	r, s := new(big.Int), new(big.Int)
	r.SetBytes(signature[:curveOrderByteSize])
	s.SetBytes(signature[curveOrderByteSize:])

	return ecdsa.Verify(pubkey, digest[:], r, s)
}