Julia 复数和有理数

本章节我们主要要来学习 Julia 的复数和有理数。

Julia 语言包含了预定义的复数和有理数类型，并且支持它们的各种标准数学运算和初等函数。

1. 复数

复数，为实数的延伸，它使任一多项式方程都有根。

我们把形如 z=a+bi（a、b均为实数）的数称为复数。其中，a 称为实部，b 称为虚部，i 称为虚数单位，它有着性质。当 z 的虚部 b＝0 时，则 z 为实数；当 z 的虚部 b≠0 时，实部 a＝0 时，常称 z 为纯虚数。

全局常量 im 被绑定到复数 i，表示 -1 的主平方根。

由于 Julia 允许数值字面量作为数值字面量系数，这种绑定就足以为复数提供很方便的语法，类似于传统的数学记法：

julia> 1+2im
1 + 2im

我们也可以对复数进行各种算术操作：

julia> (1 + 2im)*(2 - 3im)
8 + 1im

julia> (1 + 2im)/(1 - 2im)
-0.6 + 0.8im

julia> (1 + 2im) + (1 - 2im)
2 + 0im

julia> (-3 + 2im) - (5 - 1im)
-8 + 3im

julia> (-1 + 2im)^2
-3 - 4im

julia> (-1 + 2im)^2.5
2.729624464784009 - 6.9606644595719im

julia> (-1 + 2im)^(1 + 1im)
-0.27910381075826657 + 0.08708053414102428im

julia> 3(2 - 5im)
6 - 15im

julia> 3(2 - 5im)^2
-63 - 60im

julia> 3(2 - 5im)^-1.0
0.20689655172413796 + 0.5172413793103449im

类型提升机制也确保你可以使用不同类型的操作数的组合：

julia> 2(1 - 1im)
2 - 2im

julia> (2 + 3im) - 1
1 + 3im

julia> (1 + 2im) + 0.5
1.5 + 2.0im

julia> (2 + 3im) - 0.5im
2.0 + 2.5im

julia> 0.75(1 + 2im)
0.75 + 1.5im

julia> (2 + 3im) / 2
1.0 + 1.5im

julia> (1 - 3im) / (2 + 2im)
-0.5 - 1.0im

julia> 2im^2
-2 + 0im

julia> 1 + 3/4im
1.0 - 0.75im

注意 3/4im == 3/(4*im) == -(3/4*im)，因为系数比除法的优先级更高。

Julia 提供了一些操作复数的标准函数：

julia> z = 1 + 2im
1 + 2im

julia> real(1 + 2im) # z 的实部
1

julia> imag(1 + 2im) # z 的虚部
2

julia> conj(1 + 2im) # z 的复共轭
1 - 2im

julia> abs(1 + 2im) # z 的绝对值
2.23606797749979

julia> abs2(1 + 2im) # 取平方后的绝对值
5

julia> angle(1 + 2im) # 以弧度为单位的相位角
1.1071487177940904

按照惯例，复数的绝对值（abs）是从零点到它的距离。abs2 给出绝对值的平方，作用于复数上时非常有用，因为它避免了取平方根。angle 返回以弧度为单位的相位角（也被称为辐角函数）。所有其它的初等函数在复数上也都有完整的定义：

julia> sqrt(1im)
0.7071067811865476 + 0.7071067811865475im

julia> sqrt(1 + 2im)
1.272019649514069 + 0.7861513777574233im

julia> cos(1 + 2im)
2.0327230070196656 - 3.0518977991517997im

julia> exp(1 + 2im)
-1.1312043837568135 + 2.4717266720048188im

julia> sinh(1 + 2im)
-0.4890562590412937 + 1.4031192506220405im

注意数学函数通常应用于实数就返回实数值，应用于复数就返回复数值。例如，当 sqrt 应用于 -1 与 -1 + 0im 会有不同的表现，虽然 -1 == -1 + 0im：

ERROR: DomainError with -1.0:
sqrt will only return a complex result if called with a complex argument. Try sqrt(Complex(x)).
Stacktrace:
[...]

julia> sqrt(-1 + 0im)
0.0 + 1.0im

从变量构建复数时，文本型数值系数记法不再适用。相反地，乘法必须显式地写出：

julia> a = 1; b = 2; a + b*im
1 + 2im

然而，我们并不推荐这样做，而应改为使用更高效的 complex 函数直接通过实部与虚部构建一个复数值：

julia> a = 1; b = 2; complex(a, b)
1 + 2im

这种构建避免了乘法和加法操作。

Inf 和 NaN 可能出现在复数的实部和虚部，正如特殊的浮点值章节所描述的：

julia> 1 + Inf*im
1.0 + Inf*im

julia> 1 + NaN*im
1.0 + NaN*im

2. 有理数

有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，是整数和分数的集合。

数学上，可以表达为两个整数比的数(, )被定义为有理数，例如，0.75(可被表达为)。整数和分数统称为有理数。与有理数相对的是无理数，如无法用整数比表示。

Julia 有一个用于表示整数精确比值的分数类型。分数通过 // 运算符构建：

julia> 2//3 
2//3

如果一个分数的分子和分母含有公因子，它们会被约分到最简形式且分母非负：

julia> 6//9
2//3

julia> -4//8
-1//2

julia> 5//-15
-1//3

julia> -4//-12
1//3

整数比值的这种标准化形式是唯一的，所以分数值的相等性可由校验分子与分母都相等来测试。分数值的标准化分子和分母可以使用 numerator 和 denominator 函数得到：

julia> numerator(2//3)
2

julia> denominator(2//3)
3

分子和分母的直接比较通常是不必要的，因为标准算术和比较操作对分数值也有定义：

julia> 2//3 == 6//9
true

julia> 2//3 == 9//27
false

julia> 3//7 < 1//2
true

julia> 3//4 > 2//3
true

julia> 2//4 + 1//6
2//3

julia> 5//12 - 1//4
1//6

julia> 5//8 * 3//12
5//32

julia> 6//5 / 10//7
21//25

分数可以很容易地转换成浮点数：

julia> float(3//4) 
0.75

对任意整数值 a 和 b（除了 a == 0 且 b == 0 时），从分数到浮点数的转换遵从以下的一致性：

julia> a = 1; b = 2;

julia> isequal(float(a//b), a/b)
true

Julia接受构建无穷分数值：

julia> 5//0
1//0

julia> x = -3//0
-1//0

julia> typeof(x)
Rational{Int64}

但不接受试图构建一个 NaN 分数值：

julia> 0//0
ERROR: ArgumentError: invalid rational: zero(Int64)//zero(Int64)
Stacktrace:
[...]

像往常一样，类型提升系统使得分数可以轻松地同其它数值类型进行交互：

julia> 3//5 + 1
8//5

julia> 3//5 - 0.5
0.09999999999999998

julia> 2//7 * (1 + 2im)
2//7 + 4//7*im

julia> 2//7 * (1.5 + 2im)
0.42857142857142855 + 0.5714285714285714im

julia> 3//2 / (1 + 2im)
3//10 - 3//5*im

julia> 1//2 + 2im
1//2 + 2//1*im

julia> 1 + 2//3im
1//1 - 2//3*im

julia> 0.5 == 1//2
true

julia> 0.33 == 1//3
false

julia> 0.33 < 1//3
true

julia> 1//3 - 0.33
0.0033333333333332993